Công thức tính diện tích hình tam giác và các bài tập cụ thể

Diện tích hình tam giác là công thức toán học được học và áp dụng nhiều ngay cả trong đời sống. Có rất nhiều công thức và cách áp dụng khác nhau để tính diện tích tùy vào mỗi hình tam giác. Bài viết này Trường Cao đẳng Y Khoa Phạm Ngọc Thạch sẽ tổng hợp giúp bạn biết được các cách tính diện tích hình tam giác đầy đủ nhất.

1. Tìm hiểu về hình tam giác

1.1. Hình tam giác là hình gì?

Hình tam giác là hình gồm ba đỉnh là ba điểm không thẳng hàng, còn ba cạnh là ba đoạn thẳng nối các đỉnh với nhau. Đây là hình hai chiều phẳng cơ bản trong môn Toán học, được coi là một đa giác với ít nhất 3 cạnh. 1 hình tam giác có tổng các góc trong luôn bằng 180 độ.

>>> Xem thêm Công thức tính chu vi hình tam giác và các bài tập minh họa

1.2. Các loại hình tam giác

• Tam giác thường: Đây là một tam giác cơ bản nhất trong hình học, các cạnh có độ dài khác nhau, và số đo các góc cũng khác nhau. Tam giác thường còn bao gồm những trường hợp đặc biệt của tam giác.
• Tam giác cân: Tam giác này có hai cạnh bằng nhau, còn được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân được xem là giao điểm đối với hai cạnh bên. Góc được tạo bởi 2 cạnh bên gọi là góc ở đỉnh, góc ở đáy là 2 góc còn lại. Theo tính chất của tam giác cân thì hai góc ở đáy bằng nhau.
• Tam giác đều: Đây là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân có ba cạnh bằng nhau. Theo tính chất của tam giác đều, 3 góc bằng nhau và đều bằng 60 độ.
• Tam giác nhọn: Tam giác này có đặc điểm mà 3 góc đều nhỏ hơn 90 độ gọi là ba góc nhọn hoặc tất cả góc ngoài đều lớn hơn 90 độ gọi là 6 góc tù.
• Tam giác vuông: Là trường hợp tam giác có một góc bằng 90 độ, hai cạnh tạo nên góc vuông thì được gọi là cạnh góc vuông, cạnh còn lại là cạnh huyền.
• Tam giác vuông cân: Vừa là tam giác vuông, vừa là tam giác cân.
• Tam giác tù: Đây là tam giác có một góc trong lớn hơn lớn hơn 90 độ là 1 góc tủ hoặc một góc ngoài bé hơn 90 độ gọi là một góc nhọn.

1.3. Một số tính chất của hình tam giác

• Số đo 3 góc của một hình tam giác có tổng 180° (định lý tổng ba góc trong của mỗi tam giác).
• Chiều dài của mỗi cạnh thường lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và cũng nhỏ hơn so với tổng độ dài của chúng (bất đẳng thức tam giác).
• Trong một tam giác, chiều dài của cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ lớn hơn. Ngược lại, góc đối diện với cạnh lớn hơn có số đo lớn hơn (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác).
• 3 đường cao hạ từ 3 đỉnh của một tam giác cắt nhau tại một điểm gọi là trực tâm của tam giác (đồng quy tam giác).
• 3 đường trung tuyến của một tam giác sẽ cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác. Từ trọng tâm đến cạnh của tam giác có khoảng cách bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến. Đường trung tuyến của tam giác sẽ chia thành 2 phần có diện tích bằng nhau (đồng quy tam giác).
• 3 đường trung trực của tam giác giao nhau 1 điểm gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác (đồng quy tam giác).
• 3 đường phân giác của tam giác cắt nhau một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác (đồng quy tam giác).

2. Cách tính diện tích hình tam giác và bài tập cụ thể

2.1. Công thức tính diện tích tam giác thường

Kiến thức cơ bản:

Cách tính Diện tích tam giác thường bằng ½ tích của chiều cao hạ từ đỉnh và chiều dài cạnh đối diện của tam giác. Nói dễ hiểu hơn là chiều dài cạnh đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2. 

Công thức tính diện tích tam giác thường: S = (a x h) : 2

Trong đó:

• a: Chiều dài đáy tam giác, trong đó đáy là một trong 3 cạnh bất kỳ của tam giác.
• h: Chiều cao của tam giác, ứng với phần đáy chiếu lên. Chiều cao được tính bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy, vuông góc với đáy của một tam giác.

Đây là công thức tính diện tích hình tam giác cơ bản được áp dụng từ lớp 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 đến khi học THPT.

Bài tập ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác thường khi biết: Độ dài đáy là 12cm và chiều cao là 16cm

Lời giải:

Diện tích của hình tam giác là:

(16 x 12) : 2 = 102 (cm2)

Đáp số: 102cm2

* Chú ý: Trường hợp không cho biết chiều cao và cạnh đáy tam giác thường mà biết trước diện tích với cạnh còn lại thì vẫn có thể áp dụng công thức trên để tính. 

Kiến thức nâng cao:

Cách tính diện tích tam giác theo công thức Heron:

Nếu trong tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh và nửa chu vi P/2 thì diện tích tam giác theo công thức Heron là

S(ABC) = √(p * (p – a)*(p – b)*(p – c))

Cách tính nửa chu vi P bằng (a+b+c)/2

Áp dụng định lý Sin:

Nếu trong tam giác ABC biết 1 góc và 2 cạnh thì có thể áp dụng định lý Sin để tính diện tích tam giác như sau:

S(ABC) = (1/2) * a * b * sin(C)

Trong đó, C là góc giữa của 2 cạnh a, b.

2.2. Công thức tính diện tích hình tam giác vuông

Cách tính Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích của chiều cao là 1 trong 2 cạnh góc vuông với cạnh đáy còn lại.

Công thức tính diện tích tam giác vuông: S = (a x b) / 2

Trong đó: a, b là độ dài của hai cạnh góc vuông.

Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bởi vật chiều cao của tam giác sẽ ứng với một cạnh góc vuông còn chiều dài đáy sẽ ứng với cạnh góc vuông còn lại.

Điểm khác biệt của tam giác vuông đó là biết rõ được chiều cao và chiều dài cạnh đáy, do vậy sẽ dễ tính toán hơn.

Bài tập ví dụ:

Tính diện tích của tam giác vuông có: Hai cạnh góc vuông lần lượt là 6m và 8m

Lời giải:

Diện tích của hình tam giác vuông là:

(6 x 8) : 2 = 24 (m2)

Đáp số: 24m2

Nếu như bài toán cho biết diện tích và tính độ dài thì bạn cũng có thể dùng công thức trên để suy ra.

Bạn tìm hiểu thêm về công thức:

• Công thức tính diện tích, chu vi hình vuông đơn giản
• Công thức tính chu vi và diện tích hình chữ nhật

2.3. Công thức tính diện tích hình tam giác cân

Cách tính diện tích tam giác cân được tính bằng tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác tới cạnh đáy tam giác, rồi chia cho 2.

Công thức tính diện tích tam giác cân: S = 1/2 * (a x h)

• a: Chiều dài đáy tam giác cân, trong đó đáy là một trong 3 cạnh bất kỳ của tam giác.
• h: Chiều cao của tam giác, được tính bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy.

Bài tập ví dụ:

Tính diện tích của tam giác cân khi biết: Độ dài cạnh đáy bằng 3cm và đường cao bằng 10cm

Lời giải:

Diện tích của hình tam giác là:

(3 x 10) : 2 = 15 (cm2)

Đáp số: 15 cm2

Như ở trên đã biết, tam giác cân gồm 2 cạnh góc bên có độ dài bằng nhau và hai góc bằng nhau. Theo đó, cách tính diện tích tam giác cân tương tự như tam giác thường. Bạn chỉ cần biết về cạnh đáy và chiều cao của tam giác cân.

2.4. Công thức tính diện tích hình tam giác vuông cân

Cách tính tính diện tích tam giác vuông cân bằng bình phương độ dài cạnh đáy rồi chia cho 2, áp dụng từ công thức tính diện tích tam giác vuông với chiều cao và cạnh đáy bằng nhau.

Công thức tính: S = (cạnh đáy)^2/2

• Trong đó, cạnh đáy không phải là cạnh góc vuông.

2.5. Công thức tính diện tích hình tam giác đều

Công thức tính diện tích hình tam giác đều cơ bản:

Cách diện tích tam giác đều bằng tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó với cạnh đáy tam giác, sau đó chia cho 2.

Công thức tính diện tích tam giác đều: S = (a x h)/ 2

• a: Chiều dài đáy tam giác đều, trong đó đáy là một trong 3 cạnh bất kỳ của tam giác
• h: Chiều cao của tam giác, là đoạn thẳng được hạ từ đỉnh xuống đáy.

Nếu không biết được đường cao h thì ta sẽ tính chiều cao như sau: h = a² – (a/2)² .

Bài tập ví dụ:

Cách tính diện tích của tam giác khi biết: Độ dài một cạnh tam giác bằng 8cm và đường cao bằng 12cm.

Lời giải:

Diện tích hình tam giác là:

(8 x 12) : 2 = 48 (cm2)

Đáp số: 48cm2

Công thức tính diện tích tam giác đều theo định lý Heron:

Vì tam giác đều là tam giác có 3 cạnh có độ dài bằng nhau nên diện tích tam giác đều định lý Heron sẽ bằng:

Công thức tính diện tích tam giác đều theo định lý Cosine:

S(ABC) = (1/2) * a² * sin(60⁰).

Lưu ý: Với bất kỳ công thức tính diện tích tam giác nào thì cũng phải hiểu rằng, không phải chiều cao lúc nào cũng nằm bên trong tam giác, khi đó thì bạn cần vẽ thêm một chiều cao và cạnh đáy bổ sung. Khi đó thì bạn hãy tính diện tích tam giác, cần chú ý chiều cao phải ứng với cạnh đáy nơi nó chiếu xuống.

2.6. Công thức tính diện tích tam giác trong không gian Oxyz

Cách tính diện tích tam giác trong tọa độ Oxyz bằng nửa giá trị tuyệt đối của tích hạng ba hai vectơ AB và AC. Còn được gọi là định thức Determinant.

Công thức tính:

Tam giác trong hệ tọa độ Oxyz là một đa giác có 3 cạnh nằm trong không gian 3 chiều với ba điểm không cùng một đường thẳng.

Xem thêm về các công thức:

• Công thức tính chu vi và diện tích hình thoi kèm bài tập vận dụng
• Công thức tính diện tích, chu vi hình thang và bài tập áp dụng

3. Các dạng bài tập cách tính khác về diện tích hình tam giác

Ngoài những công thức trên, còn có những công thức tính diện tích xung quanh hình tam giác khác.

• Cách tính diện tích hình tam giác khi biết bán kính đường tròn nội tiếp: S = (P * r) / 2
• Cách tính diện tích hình tam giác khi biết bán kính đường tròn ngoại tiếp: S = (abc) / (4R)
• Công thức tính diện tích tam giác khi biết chu vi P và bán kính đường tròn nội tiếp: S = (a*b*c)/(8R)

Bài viết trên đây chúng tôi đã trình bày công thức tính diện tích hình tam giác và các dạng bài tập giúp bạn đọc tính được diện tích tam giác nhanh chóng, hiệu quả nhất. Để biết cách tính thuần thục nhất thì bạn hãy luyện tập bổ sung nhiều bài tập khác nhau. Đừng quên theo dõi bài viết tiếp theo tại Trường Cao đẳng Y Khoa Phạm Ngọc Thạch để cập nhật kiến thức liên quan nhé.